現役国立大生が考える数学のお勧め勉強法【文系】【数学ⅠAⅡB】

勉強
OLYMPUS DIGITAL CAMERA

お勧め教材 https://wsbgreenblog.com/2020/04/30/17/48/06/

こんにちは。今回は数学のお勧め勉強法についてお話したいと思います。

数学とは,どうも好きな人はとことん好きですが,嫌いな人はとことん嫌いであるという科目であるように思われます。

高校生の場合,文理選択の際に,「数学をやりたくない,使いたくないから文系」という声はよく聞くところでありますが,「国語や地歴を本格的にやりたくないから,理系に行く」という声はあまり聞かず,理系を選択する人は,数学や理科を積極的にやりたいと思う人であるように見受けられます。

とはいえ,国立大学などを受験する場合,数学ⅠAⅡBのみとはいえ,数学を何らかの形で使う場合がほとんどです。そのような人に向けて,私は数学の勉強法をお伝えしようと思います。

私は,高校では数学はかなり得意で,文系に進んでおきながら,英語が致命的にできないというタイプだったのですが,中学校では,数学がかなり苦手で,定期テストでも他の科目は90点以上あるのに,数学だけ50点台といったこともざらでした。

高校受験の時は,公立高校入試の数学90点まで成長することができたわけですが,そのヒントを,私自身があまり把握していないのですが,少しでもお伝えできればと思います。

  • 問題演習をしっかりとやる。
  • 数学とはどのような科目であるかを理解する。
  • 論理をおろそかにしない。
  • 公式を証明できるようにする。

問題演習をしっかりとやる。

まず,問題演習をきちんとやるということが何よりも重要であると思います。

特に中学生の場合,他教科が暗記に頼るところが多い一方,相対的に見て,数学のみが比較的自分で色々と組み立てていくことが多い科目である,すなわちアウトプット重視の科目であるといえると思います。

具体的にいうと,次の通りです。

高校生になると,自ら論理的に考えて解答するということが,科目によって程度の差こそあれ,多くなります。例えば,英語でいえば,説明問題や英作文,社会でいえば,大論述,理科等でいうと,実験考察や状況説明等です。これらのベースがインプットであることはいうまでもありませんが,それでも複数の関連事実を体系的に記憶,理解し,それを問の要求に応じて組み立て直し,アウトプットするということが求められることが多くなります。

一方,中学生の勉強においては,英作文や説明問題等においても,大抵の場合,問の要求は短絡的なものであり,問が要求する当該事実のみを記憶しているかどうかが判断されることが多いです。その一方で,数学というのは,高校数学には劣るものの,複数の関連事実,例えば,図形の証明問題が出てきた場合,相似を使うのか,それとも何か特定の定理を使うのか等情報を自分の中で取捨選択するということを,何段階か行う必要があります。このような意味で,中学校の学習において,数学というのがやや異質であるといえるのです。

よからぬ反論が為されると困るので,予め断っておきますが,私は中学校段階におけるこのような学習が悪いとか,程度の低い話であるとかそのようなことを言いたくて,以上の分析を行ったわけではありません。寧ろこのような事実は,高校の勉強が中学校の勉強をある程度ベースにして行われるという側面がある以上,必然的なことです、

話を戻しますと,私自身もこのような数学の「異質性」にはまったのです。つまり,私は記憶力は平均よりよかったですから,他教科については,授業を聞いて,テスト前に提出物であるワークを1巡すれば,定期テストにおいては,それなりの点数が取れました。しかし,数学においては,問題演習が私の場合はそれでは足りなかったのです。ですから,授業は理解できているにも拘わらず,テストの点数はよくないということが起こっていたのです。

このような体験を為されている,或いは為されていた人がいるのではないかと思いますが,数学はインプットすることよりも,アウトプットすることが大切なのです。特に,基本問題のレベルにおいては,ある程度その方法論,手札を「覚えておく」ことが要求されます。

ここでいう「覚えておく」とは,問題パターンとそれに対応する解答パターンを単純に覚えるということではなく,自分の中の手札を増やしてある状態で,問題を見た瞬間に問題の意図を汲み取り,その問題を解く際に,最小労力で済み,且つ論理的に誤っていないものを正しく選択するという意味です。

センター試験で8割以上目指すような生徒であれば,問題集のすべての問題において(A問題とB問題があれば,B問題のレベルまで)この状態にしておくことが求められました。

そして,そこで得た手札を用いて,大学の個別学力試験(通称:二次試験)等の難問を解いていくのです。

このような意味で,問題演習は必要なのです。

数学とはどのような科目であるかを理解する。

数学とはどのような科目であるのか,どのようなことが要求されているのか,ということを理解しているでしょうか。これは,別に数学に限った話ではありませんが,正解を出すということはどのようなことであるか,理解しておく必要があります。

数学において,正解を出すということは,「問の内容を同値変形する」ということです。

中学生の方は,同値変形するという内容は,わからないかもしれません。

同値とは,集合論でいうところの必要十分条件で,簡単にいうと,

本質的に全く同じ状態,条件であるけれど,一見した限りでは,そうは見えない状態

であると理解してもらって差し支えないでしょう。(同じということについては,哲学上議論がありますが)

具体例を挙げます。中学生にもわかりやすい例にしましょう。

例題)y=2xとy=-2x+4の交点を求めよ。

このような問題が出た場合,この2つの関数を連立して,連立方程式を解くという作業に入るはずです。

では,それはどうしてそうなるのでしょうか。もう少し言葉を足せば,グラフ上の点と方程式の解というのは,一見すると,全く別の話であると思われます(同じ話であると理解できる方は,もう私が言わんとしていることを理解していると思われます)。では,どうして全く別の話に思われる2つの話を結び付けるのでしょうか。

それは,グラフ上の座標(x,y)と関数の文字の組(x= ,y= )が表裏一体であるからです。

具体的にいうと,y=2xにおいて,y=2,x=1を代入した時,両辺が等しくなりますが,このこととy=2xのグラフが,(2,1)を通るということが表裏一体であるといえるということです。これをもう少し一般化すると,y=2xとなるような,xとyの組を図示したものがグラフであるということになります。

つまり,2つの与式が共通で持つ解を求めよという連立方程式の要請と,2つのグラフが交わる点を求めよという問題の要求が本質的に同じになるのです。

今回の例に当てはめれば,この連立方程式を解くと,x=2,y=1という解が出てくると思いますが,これと,2つのグラフを書いた時に交わる点が(2,1)となるということです。

これでお分かり頂けたかと思いますが,数学では,このような同値変形を行います。その際に,問と同値になるためには,条件が1つでは済まなかったり,場合分けが存在したりすることもありますが,そのことも含めて同値変形をすることにより,正解を導出すること,それが数学の問題を解くということになると思います。

よく「場合分けが足りなかったから,△になった」という生徒がいますが,それは,その変形が,同値変形ではないということを指示しています。

論理をおろそかにしない。

1つ上の項で,「数学において,正解を出すということは,同値変形を行うことである」と説明しましたが,となれば,論理を曖昧にしてはいけません。論理を曖昧にすると,その問題の意図がきちんと読み取れなかったり,自分が行った変形が同値であるのか確認することができなくなったりするのです。

このような事態を招くことは,数学においては致命的です。このような状態を改善しない限り,あなたが解ける問題は,計算問題と1対1対応的な単純な問題に限定されるでしょう。

改善策は,以下の2つだと思います。

1つ目は,論理の部分,特に,数学Ⅰの集合と論理の部分をきちんと理解し,普段の問題演習時に意識することです。

OLYMPUS DIGITAL CAMERA

論理的な部分,単元というのは,あまり受験においてあまり重視されるようなところではありません。センター試験等の配点も低かったです。しかし,ここを抑え,使いこなすことが難関問題を解くカギになります。問題を解く時に,ただ問題の合否のみならず,その問題を解くためには,どのような状況が発生すればよく,その状況を確実に発生させることのできる条件或いは条件の集合,組み合わせはどのようなものであったのか,を確認し,自分がそのような視点で問題に向き合えるようになれば,数学の成績が急速に上がる下地ができたといっても過言ではないと思われます。

2つ目は,問題の要求を自分の中で,極力問題文とは別の言葉を用いて,要約し,整理することです。

これは,1つ目を実現するために,それをより実践的に生かしていくための方策です。問題を単に理解するといっても,それだと実際の審査基準がなく,なあなあになってしまう可能性があります。そうした状況を作り出さないために,問を要約するということです。できるだけ簡潔に要約し,それが実際の問題の内容と全く同じであるといえるか,このワンステップを設けたうえで,同値の条件を考えるようにすると,確実に1つ目のことができるようになるのではないか,と考えます。

また,それだけではなく,単純に問題分野状況理解をするにも役立つと思われます。

論理の部分を鍛えるために有効だと思われるテキスト『大学への数学 数学を決める論証力』。これを含む私が選ぶ数学のお勧めテキスト

公式を証明できるようにする。

公式を覚えるとか,何も考えずに公式に入れる等ということを平気で言う人が言いますが,それは間違いであると思います。

まず,公式は覚えるものではありません!

より正確にいえば,覚えるように努力するべきものではなく,使っているうちに自然と覚わるものであると思います。つまり,最初に述べたように,演習量を積むのが大切であると思いますが,その演習の中で覚えていくものであると思います。逆に,公式が覚わっていない状態である場合には,演習が足りていないといえると思います。

また,公式を全て覚えなければならないと考えるのも適切でないだろうと思います。これに該当するものは,2種類に分別されると思われます。

1つ目は,あまりにも自明すぎて公式として覚える必要がないものです。

例えば,場合の数における積の法則や和の法則がこれに当たると思われます。これは,樹形図を描くことで問題なくわかるものであり,積の法則や和の法則という語を与え,あたかも公式であるとするべきではありません。公式というと,「よくわからないけれど,これを使おう」という意識が多くの生徒の間で生まれるのですが,このような場合,上記のような意識を持つのは大変危険です。このような場合は,思考の面において大きな影響を与えることがあるからです。

2つ目は,あまりにも使用頻度がないため,公式を導出できるようにした方がいい場合です。

文系の場合,例えば,三角関数の半角の公式等はほぼ使わないわけです。このような場合,忘れることが考えられます。その時に備えて導出できるようにしておくことがお勧めです。しかも,使用頻度が低い公式は,大体使用頻度が高い公式の変形で導出できますので,このようにしておくことをお勧めします。

このような場合だけでなく,公式を証明することは1つの数学の学習法として機能します。この学習法によって得られることは,以下の2点であると思われます。

  1. 公式の背景,公式の導出法の理解
  2. 証明の方法,証明の論理の組み立て

まず,1.について考えると,公式を一旦自分で証明することにより,公式が生まれた背景を理解できます。つまり,自分で導出法を理解することにより,もし公式を忘れたり,自信がなくなったりしたとしても,自分で導出して確認することができます(尤も,その変形でミスをすれば,意味がないですが)。そして,こうすることにより,公式自体に対する理解も深まるため,公式を覚えるということもすんなりいくと思われます。

とはいえ,このことについては,かなり理解して頂けると思われます。また,この作業について重要性を感じるかどうかは,個人の価値判断によるところだと思いますが,私の価値判断では,自分がよくわかっていないものを使うことに抵抗があるため,自分で一度証明することをしていたのです。

2.についてみてみましょう。公式の証明は,教科書に載っていると思います。自身の証明とその教科書の説明を見比べて,論理のステップの確認を行うことができます。論理の飛躍がないか,論理的な間違いがないかを確認することができる他,やや使い方が難しい語句の使い方の確認をすることができます。

例えば,「同様に」という言葉,非常に便利ではあるのですが,学習があまり進んでいないと,どの程度共通性があれば,使ってよいのかわかりにくいと思います。このような場合,おそらく余弦定理の証明などを見れば,「同様にして」と使われていると思いますが,そのようにして確認することができます。尤も,このようなものは多くの問題にあたることで,その感覚を養うものであり,一朝一夕に見につくものではありませんが,それでも1つ有用な方法であると思われます。

如何でしょうか。私自身は,数学は非常に好きなので,そのような人が増えるといいと思いますし,そして特に,この記事がそれに貢献できるなら,幸いです。

コメント

タイトルとURLをコピーしました